Copyright: Guiziou Robert 1996


Présentation du B E

CALCUL DE PARAMETRES

ORBITAUX

LANCEMENT GTO PAR ARIANE

MECANIQUE SPATIALE

Affichage conseillé 640x480

Auteur GUIZIOU Robert Février 1996/Rev mai 98/Déc 98


	INDEX PRINCIPAL
	NB: Formulaire disponible par l'aide en ligne
                                         Présentation

UTILISATION DU B E

Debut du BE:Paramètres d'injection d'un tir Ariane

Page 1 du BE

Page 2 du BE

Page 3 du BE: Mise à poste

ETUDE PARTICULIERE DU TIR GTO

Rubriques de cours

Résultats


AUTEUR


RUBRIQUES DE COURS

Matrice de passage P

Figure des paramètres orbitaux angulaires

Paramètres orbitaux

Résultats des calculs de 2°) c)

Satellite géostationnaire

Paramètres d'injection

Lien entre t - tp, M(t), θ(t), r(t), ϕ(t)

Longitude de stationnement

Anomalie excentrique

Vecteurs fondamentaux

Calcul des paramètres orbitaux a, e, i,ω,Ω


RESULTATS

Résultats 1° a) et b):

Résultats 2° a) et b):

Résultats 3°)

Résultats de 5°)

Résultats de 6°)

Manoeuvre d'apogée

Points Survoles en GTO

VUE FIXE DES TROIS PREMIERES ORBITES

Kourou et le tir GTO


0


Mode de fonctionnement

  Ce bureau d'études est destiné à illustrer, de manière concrète, le calcul des paramètres orbitaux de la trajectoire résultant de l'injection sur l'orbite G T O par notre lanceur Ariane, avec l'utilisation:

des vecteurs fondamentaux h, n, e.

des paramètres orbitaux,

des résultats sur les mouvements képlériens,

du paramétrage par l'anomalie excentrique,

d'exécutables en Pascal ou d'autres routines.

   Votre travail, si vous jouez le jeu, doit être interactif avec le logiciel.


Mode de fonctionnement (suite)

  Vous pourrez aussi vérifier les résultats de vos calculs et obtenir éventuellement une aide en ligne.

Vous obtiendrez des explications de plusieurs manières:

 En mode hypertexte en "cliquant" les mots en souligné continu vert, exactement comme la navigation Internet, mais sans navigateur. Seul Windows suffit.

 En mode pop-up en "cliquant" les mots en souligné pointillé vert, il apparaît une fenêtre nouvelle.

 En utilisant également le bouton d'aide classique ? qui vous ouvre  une fenêtre indépendante avec un formulaire.

 En utilisant les routines exécutables des menus dates, programmes ou éphémérides,

 En mode bouton

Pour visualiser un résultat ou une figure

Pour lancer un programme ou exécuter une simulation

 En mode hypergraphique avec zones sensibles.


Mode hypertexte

  Quand vous rencontrez un mot important en surbrillance ( en général verte suivant le logiciel ) souligné en continu vous pouvez:

 soit ignorer la suite si vous connaissez le sujet

 soit "cliquer" deux fois avec la souris sur ce mot.

  Vous recevrez alors un complément d'information en général un rappel de cours ou une définition ou des relations difficiles à mémoriser.

  Cette action vous amène alors vers un nouveau texte explicatif qui peut lui-même contenir des mots en surbrillance verte et ainsi de suite.

  Le chemin inverse se fait ensuite simplement en "cliquant" sur le bouton précédent du bandeau  pour revenir au point souhaité.


Mode pop-up

   Quand vous rencontrez un mot important en surbrillance ( en général verte suivant le logiciel ) souligné en discontinu , vous pouvez soit ignorer la suite si vous connaissez le sujet, soit "cliquer" deux fois avec la souris sur ce mot.

  Vous recevrez alors un complément d'information court, une définition ou des relations difficiles à mémoriser, dans une fenêtre, dite pop-up, en surimposition sur celle du travail courant.

  Le chemin inverse se fait ensuite simplement en "cliquant" n'importe où dans l'espace de travail.


Anomalie excentrique
PARAMETRAGE PAR L'ANOMALIE EXCENTRIQUE (Ellipse)

L'anomalie excentrique ϕ qui varie de 0 à 2π paramètre les points M' et M, qui se correspondent dans une affinité orthogonale de rapport b/a.

Voir aussi:Anomalie moyenne M


ANOMALIE MOYENNE
ANOMALIE MOYENNE et MOYEN MOUVEMENT

On appelle ANOMALIE MOYENNE la quantité M:

M varie linéairement en fonction du temps orbital. n s'appelle le moyen mouvement ou vite0sse angulaire moyenne.


Vecteurs fondamentaux

Vecteur moment cinétique h

Vecteur nodal n

Vecteur excentricité e

Ces trois vecteurs permettent le calcul des paramètres orbitaux.


Calcul des paramètres orbitaux a, e, i,
Calcul des paramètres orbitauxVoir vecteurs fondamentaux


PARAMETRES D'INJECTION D'UN TIR ARIANE
DEBUT DU BE:

PARAMETRES D'INJECTION D'UN TIR ARIANE

A quelques détails près, le lanceur Ariane décollant de la base de KOUROU en Guyane française communique à sa charge utile les paramètres d'injection suivants:

Altitude sol Z = 225 km

Vitesse absolue (dans le repère géocentrique) Vo = 10216.5 m/s

Angle de tir (pente) γo = 3°,24

Azimut absolu βo = 97°,14

Longitude du tir Lo = - 10°,5

Latitude du tir λo = - 0°,96

Date du tir 25 mars 1994 à 2 h 15 mn 12 s

On rappelle que la mission nominale d'Ariane est une injection G.T.O

(geostationnary transfert orbit) destinée à atteindre le niveau de l'orbite géostationnaire pour une mise à poste classiquement d'un satellite météorologique ou de télécommunications, à une longitude de stationnement ls bien définie.


Satellite géostationnaire

On appelle ainsi un satellite de la Terre, géosynchrone, fixe par rapport à la Terre.

Sa période est de 23 h 56 mn 4,1 s = 86164,1 s appelée jour sidéral .

0

De plus, un tel satellite est obligatoirement situé dans le plan équatorial terrestre à 42164 km du centre.

Les applications sont classiquement:

Les télécommunications ( fonctionnement en réseau mondial de 3 satellites minimum à 120°)

L'observation météorologique de régions particulières de la Terre (ex: météosat).


Satellite geosynchrone
Satellite géosynchrone

On appelle ainsi un satellite de période identique à celle de la terre. A ne pas confondre avec géostationnaire.


Paramètres d'injection
Paramètres d'injection (voir figure)

On appelle ainsi un ensemble de caractéristiques du tir

qui doivent ètre réalisées au mieux lors de la mise en orbite.

Paramètres définissant le lieu du tir:

 Lo longitude Greenwich mesurée positivement vers l'est

 λo latitude du point de tir

 ro = Rt + Zo rayon vecteur du point de tir (Zo altitude sol)

Paramètres définissant le plan du tir (orientation du vecteur vitesse):

 βo azimut absolu du tir (angle entre la direction locale

    du nord et la projection horizontale de la vitesse

 γo pente absolue ou angle de tir absolu

 Vo norme de la vitesse absolue (/ géocentrique)

Paramètres définissant une position à la date  t:

 tp (date au premier périgée) et to date de tir θ(to) ou M(to) ou ϕ(to)


Lien entre t - tp,
Lien entre t - tp, θ(t), M(t) et ϕ(t)

Il s'agit ici des formules de paramétrage du mouvement à l'aide de l'anomalie excentrique ϕ. Rappelons que r, θ ne peuvent se calculer en fonction du temps mais que grâce à ϕ il est possible de relier ces variables entre-elles.


Longitude de stationnement

On nomme ainsi la longitude ls où le satellite doit rester durant sa durée de vie (anciennement 7 ans et à partir de 1996 une durée de vie de 15-16 ans)

Cette position doit être respectée à 0°.1 près et demande une maintenance précise du satellite, il faut en effet éviter des problèmes d'interférences entre satellites.

Il faut savoir que des perturbations gravitationnelles dues à la lune, le soleil, la non homogénéité de la terre (J2), la pression de radiation solaire etc... obligent à des corrections de position régulières qui limitent la durée de vie du satellite en orbite.

Il est prévu qu'en fin de vie le satellite puisse être tranféré sur une orbite "cimetière" plus haute que le niveau géostationnaire pour ne pas encombrer l'espace utile.


Energie specifique
Energie specifique E

On appelle ainsi l'énergie mécanique par kg envoyé. Elle se mesure en Joule/kg mais cette unité trop petite est avantageusement remplacée par des km²/s².

On se souviendra que plus un satellite est énergétique plus il "montera" haut et quelquefois même partira en évasion.

En fait sur une ellipse un engin est prisonnier du champ gravitationnel et oscille sur "les flancs du puits" de potentiel.

La vitesse de libération près du sol est d'environ 11 à 11.2 km/s. C'est elle qui permet juste de sortir du "puits".


Constante des aires
Constante des aires K

La loi des aires:

exprime classiquement la conservation du moment cinétique du satellite en hypothèse képlérienne ( champ central en particulier).

Le vecteur moment cinétique fixe h par rapport aux étoiles (en képlérien) indique à la fois le sens du mouvement orbital et la normale à ce plan orbital fixe.

Exemple: la terre orbite dans l'écliptique, plan fixe par rapport aux étoiles.


Heure sidérale
HEURE SIDERALE DE GREENWICH

On appelle ainsi la longitude vernale du méridien de Greenwich, ou encore l'angle lg(t).

Généralement donné par les éphémérides, cet angle permet de positionner la terre dans sa rotation de période sidérale.

T = 23 h 56 mn 4,1 s = 86164 s à ne pas confondre avec le jour solaire moyen de 24 h = 86400 s

NB: Exécutez le programme Heur_sid.exe pour calculer l'heure sidérale de Greenwich à une date donnée.


CARACTERISTIQUES ORBITALES
Caractéristiques orbitales

Le dessin ci-dessous rappelle les principaux éléments d'une orbite elliptique.


Excentricité

Ce scalaire traduit la déformation de la trajectoire par rapport à l'orbite circulaire.

e=0 donne le cercle

e=1 est la transition de l'ellipse où e<1 vers les hyperboles

coniques d'évasion, à branches infinies

e>1  évasion = libération sur branches hyperboliques.

Le plus souvent on a accès à l'excentricité par la donnée du

périgée ou de l'apogée.

rp = a(1-e)     et     ra=a(1+e)


Périgée

Point le plus rapproché de l'astre, il faut veiller à ce qu'il soit situé hors atmosphère, sauf si  naturellement on recherche un freinage atmosphérique (envisagé pour les futurs voyages sur Mars)

rp = a(1-e)

C'est le point où la vitesse orbitale est la plus élevée.

K = Va ra = Vp rp


Apogée

Point le plus éloigné de l'astre

ra = a(1+e)

Il est souvent la position où une corrrection de trajectoire a lieu pour passer en orbite circulaire haute (circularisation)

C'est le point où la vitesse orbitale est la plus faible.

K =Va ra = Vp rp


Période

Képler, en son temps, avait établi expérimentalement la relation remarquable:


Page 1 du BE
BE: Page 1

μT = 398600 km3s-2    Rayon terre = 6378 km     Jour sidéral = 86164 s

1°)a) Calculer les constantes  orbitales classiques E et K

 b) Déduire a, e, rp, ra, T.  On constatera que le périgée est à 200 km du sol terrestre. Voir caractéristiques orbitales.

2°) a) Calculer les vecteurs ro et Vo dans la base du repère local E, N, Z

b) Calculer, grâce au programme heur_sid.exe , l'heure sidérale puis  l'ascension droite αo du POINT D'INJECTION à la date du tir.

c) Calculer la matrice de passage P de la base géocentrique IJK à la base ENZ, et les composantes de ro et Vo dans I, J, K.


Résultats 1° a) et b):
Résultats 1° a) et b)  c)

E = - 8.178064 km2s-2          K = 67351.719 km2/s

a = 24370.071 km                 e = 0.7300785

Périgée = rp = 6578.006 km  ---->  Zp = 200 km

Apogée = ra = 42162.14 km ------> très proche

du niveau géostationnaire théorique 42164 km.

Période T = 37861 secondes = 10 h 31 mn


Résultats 2° a) et b):

Position-vitesse dans ENZ

Heure sidérale de Greenwich et ascension droite du point de tir:

lg(date) = 216°.11           αo = lg(date)+Lo =  205°.61


Matrice de passage P
    Matrice de passage P(α,λ)

Rappelons la matrice de changement de base de IJK vers ENZ

Dans laquelle αo=Lo+lg(to) est l' ascension droite du point de tir et λo la latitude géocentrique du tir.

Vous lancerez par le bouton, le programme numérique exécutable Pascal, qui calcule les composantes dans IJK à partir de celles dans ENZ

Voir figure des paramètres orbitaux angulaires pour la compréhension.


Figure des paramètres orbitaux angulaires


Angle de tir

Angle γo indiquant la pente sur l'horizontale locale.

Rappel K = Vo ro cosγo = Va ra = Vp rp = V r cosγ


Azimut

Angle βo difficile à maîtriser entre le nord local et la vitesse horizontale V'o.

Ou encore angle entre le plan de tir et le plan méridien

βo = 90 degrés est un tir plein est, profitant pleinement de la vitesse d'entraînement due à la rotation terrestre (environ 480 m/s à l'équateur près de la terre)


Heure sidérale de Greenwich

lg(t) est l'angle entre la ligne vernale fixe γ ( Axe I )et le méridien   de Greenwich. Cette quantité est connue par les éphémérides du jour ou par une routine.

Cet angle positionne la terre relativement aux étoiles.


Vitesse horizontale

On appelle ainsi la projection V'o, de la vitesse Vo sur le plan horizontal local E N.

C'est aussi Vo cosγo , la vitesse orthoradiale en polaires. Ce vecteur fait avec le nord local un angle βο appelé azimut.


Longitude Greenwich Lo du point de tir

Mesurée positivement vers l'est. conventionnellement de 0 à 360°mais souvent de -180° à 180°.


Heure sidérale du méridien local

αo = lg(t) + Lo est la longitude vernale du méridien du lieu à la date to.

Cette quantité intervient dans le calcul de la matrice de passage P de la base I J K vers E N Z


J2000 =repérage associé au 1/1/2000

On appelle ainsi le nouveau système de référence, avec origine des temps le 1/1/2000 à 12 h 00 mn 00 s, noté jour julien nouveau 0.

Le repère I J K accompagne cette chronologie avec I ligne vernale du 1/1/2000 et le plan I J plan équatorial moyen de cette date.

NB: le calendrier julien repère les jours linéairement , en restant à l'écart des calendriers locaux de chaque civilsation.

Le jour 0 est le 1/1/2000 à 12 h 00mn 00 s


Latitude du tir

λο se mesure de -90° à +90° degrés posivement vers le nord. On rappelle que

cos i = cos λο sinβο

entraînant

i > λo

Ainsi, pour qu'un territoire soit survolé, il faut choisir la plus grande latitude survolée et définir en conséquence l'azimut de tir, de manière que i>λ.


Résultats des calculs Matlab de 2°) c)
Résultats des calculs 2°) c)


Page 2 du BE
BE: Page 2

 Calcul des vecteurs fondamentaux

3°) Calcul des vecteurs fondamentaux h, n, e.

Pour ce faire vous utilisez le programme  vectfond.exe et

 Retrouver l'excentricité e

 Montrer que le périgée est pratiquement sur l'équateur.

     Quel intérêt cela présente-il pour la mission Ariane?

 Calculer l'ensemble des paramètres orbitaux de l'orbite GTO.

4°) Confirmez l'ensemble des calculs des paramètres orbitaux en exécutant un programme global  tirpar_w.exe.

Vous pouvez convertir la date julienne en date normale par date_cal.exe et réciproquement par j_julien.exe


Programme tirpar_w:
Programme tirparam:

Exécutable d'un source en Pascal ce programme donne directement les paramètres orbitaux connais sant les paramètres de tir et la date de tir.

Vous pouvez et devez  quitter le programme en fermant la fenêtre ou en "cliquant" une touche quelconque.


Programme vectfond
Programme vectfond.exe

Ce programme Pascal calcule les trois vecteurs h,n,e, connaissant  les vecteurs colonnes r et V connus dans IJK, que vous donnerez sur demande de la routine.

ATTENTION aux erreurs d'écriture des composantes des vecteurs, notamment les unités.


Vecteur fondamental h

Le vecteur h est le moment cinétique réduit (par kg)

h est normal au plan orbital, et indique rappelons-le

le sens du mouvement orbital.


Vecteur fondamental n

Le vecteur n est le vecteur nodal

Il appartient au plan équatorial et au plan orbital (Intersection =LIGNE DES NOEUDS ). Il est normal au moment cinétique orbital.

n "pointe" le noeud ascendant de l'orbite , point où le satellite passe de l'hémisphère sud au nord.

{bmc n.shg}


Vecteur fondamental   e

Le vecteur e est le vecteur excentricité.

e appartient au plan au plan orbital.

e "pointe" le périgée P de l'orbite et donne donc l'axe focal de l'orbite.


Résultats 3°
Résultats 3°)

Vecteurs fondamentaux   h et n en  km²/s :

Ci dessous les composantes dans le repère géocentrique IJK

a = 24370.1 km     e = 0.73008    i = 7°,2

ω = 180°     Ω = 17°,99    ϕ = 3°04

Premier survol du périgée, après le tir :

tp =  25 mars 1994 à 12 h 44 mn 47 s

Comme e(3) = 0 le périgée est sur l'équateur, confirmé d'ailleurs par l'argument nodal du périgée ω qui vaut 180°, montrant que le périgée est le noeud descendant de l'orbite.

On retrouve les caractéristiques classiques du tir Ariane.


Page 3 du BE: Mise à poste

On souhaite mettre à poste le satellite à ls = 125° de longitude est. On aura remarqué que le périgée et l'apogée sont sur l'équateur  terrestre.

5°) Calculer la loi donnant la longitude L(n) des n premiers passages à l'apogée. Vous utiliserez la propriété que l'apogée est le noeud ascendant de l'orbite et vous aurez aussi vérifié que le premier passage à l'apogée, juste après le tir, a lieu le 25 mars 1994 à  7 h 29 mn 17 s.

Confirmez les résultats avec le programme survol.exe.

Quelle est la valeur de n < 8 qui donne la plus grande proximité avec le point de stationnement?  Voir RESULTATS

6°) Calculer l'incrément de vitesse ΔV nécessaire pour circulariser l'orbite et passer en circulaire quasi géostationnaire, en  passant par l'apogée. La suite de la mise à poste est trop fine pour être abordée ici.


Manoeuvre d'apogée
 Manoeuvre de circularisation à l'apogée

En une seule opération le moteur du satellite réalise:

Une augmentation DV de la norme du vecteur vitesse

Un changement de plan qui dans le cas présent fait

passer de l'orbite GTO inclinée de 7°,2  à l'orbite

circulaire géostationnaire équatoriale.

Une orientation et une rotation du lanceur sont donc nécessaires.


Résultats de 5°)
Résultats de 5°

Au moment où le satellite passe par l'apogée, il est aussi au noeud ascendant dont la longitude vernale est connue et vaut 18°. Les 5 premières longitudes de l'apogée sont données par:

Lg(A1 )= 83°.16      Lg(A2) = 284°.97     Lg(A3) = 126°.78    Lg(A5) = - 31°41

La N° 4 est donc relativement très proche du stationnement


Résultats de 6°)
Résultats de 6°

La correction de trajectoire consiste à passer à l'apogée de l'orbite GTO inclinée de 7°2 sur l'équateur à  l'orbite géostationnaire équatoriale en changeant à la fois de vitesse et de plan.

Vitesse apogée GTO = 1600 m/s

Vitesse orbite circulaire = 3075 m/s

 Un calcul classique dans un triangle de vitesse  donne:


Figure des paramètres orbitaux


ETUDE PARTICULIERE DE L'ORBITE GTO
ETUDE PARTICULIERE DU TIR GTO

Avant de visualiser le vol GTO, voir la trajectoire de vol depuis Kourou.

On étudiera le mouvement relatif du satellite dans son ascension sur l'orbite GTO. On expliquera notamment pourquoi la trajectoire relative à la terre revient vers l'ouest et repart vers l'est, lors de son passage à l'apogée. Le point de stationnement est bien visible avec le satellite venant à proximité de ce point avant la manoeuvre de circularisation.

 Observez avant une vue fixe commentée en hypergrahique et les points survolés   Cliquez le logo du titre


Points survolées par le vol GTO
Points survolés par le vol GTO


VUE DES TROIS PREMIERES ORBITES GTO
 VUE FIXE DES TROIS PREMIERES ORBITES


Stationnement

Le point de stationnement est la position définitive du satellite pour son exploitation industrielle. Dans notre étude c'était à 48° degrés de longitude Greenwich, position presque atteinte  au troisième apogée.

 Le satellite passe alors sur une orbite quasi-géostationnaire dite de dérive primaire.


Orbite géostationnaire

Unique et de rayon 42164 km, elle est idéale pour y placer des satellites de télécommunications ou de météorologie, la vitesse y est de 3075 m/s et la période T = 86164 s


Lors de la montée la fusée perd de la vitesse, et la vitesse angulaire autour de l'axe nord-sud diminue : à ne pas confondre avec la vitesse angulaire orbitale mesurée autour du moment cinétique réduit:

 ω = Vcosγr =  K/r²

 Il arrive ainsi que cette vitesse angulaire devienne plus petite que celle de la terre.Le satellite donne alors l'impression de dériver vers l'ouest, mouvement qui va cesser dans la redescente ou inversement durant la montée.


Stations de poursuite

Le vol du lanceur Ariane qui dure environ 15  à 17 mn suivant la version Ariane, est suivi par les stations de Kourou Natal (Brésil), Ascension et Libreville (Gabon)


Injection et Périgée

On notera que le périgée et le point d'injection sont pratiquement sur l'équateur, avec le périgée un peu dans l'hémisphère nord pour permettre une circularisa tion qui débutera dans l'hémisphère sud, juste avant le survol de l'apogée quelques minutes avant d'atteindre l'équateur, et placera ainsi le point de stationnement sur l'équateur. En réalité la procédure est un plus complexe et utilise des orbites intermédiaires dites de dérive, qui permettent de placer le point de stationnement là où on le souhaite.

A l'occasion vous comparerez avec un tir soviétique, nettement plus complexe et coûteux en vitesse.


kourou
 Kourou et le tir GTO

  On observera aussi l'azimut  βο > 90 degrés ( tir vers le sud-est )


EXECUTABLES DE CALCUL DIRECTEMENT UTILISABLES
ROUTINES DE CALCUL UTILISABLES

Ce sont des exécutables de calcul immédiatement utilisables en appuyant sur le bouton associé

NB: cette fenêtre est fixe, toujours devant. Il faut donc la déplacer ou fermer ou la réduire en icone, pour travailler

Calcul de l'heure sidérale de Greenwich connaissant la date calendaire et l'heure TU.
Calcul de la date julienne associée à J2000 connaissant la date calendaire et l'heure TU.
Calcul inverse de la date calendaire et de l'heure connaissant la date julienne décimale du système associé à J2000
Calcul des paramètres orbitaux connaissant les conditions à l'injection.
Calcul de la longitude et de la latitude des points survolés par un satellite ( trace sol ), connaissant lesparamètres orbitaux. NB: les résultats apparaissent en tableau. Si l'on veut réaliser une simulation réelle sur une carte du monde, il faut s'adresser à la routine MOLNYA.EXE  ( voir plus loin)
Calcul des conditions de tir connaissant les paramètres orbitaux et la date de l'injection.
Calcul des éphémérides d'une planète connaissant la date calendaire et l'heure TU. ATTENTION: donner le nom de la planète en minuscules
Calcul de la trajectoire (UNIQUEMENT ELLIPTIQUE) reliant 2 points de l'espace connus et en connaissant la durée du vol. C'est la solution numérique du problème de Lambert.
Calcul de la cible fictive à viser pour un missile, connaissant le point de départ et les coordonnées géographiques de la cible réelle sur la terre. Le programme donne aussi les conditions de tir.
Visualisation (grâce à une routine Visual Basic conçue par  l'AGL de l'EA et le professeur pour la partie calculs) de la trace au sol d'un satellite. Le programme permet de rentrer n'importe quel satellite sous une simulation personnelle. Des satellites typiques sont aussi précalculés.
C'est le symétrique de rv_par_w (ci-dessous) qui permet de calculer le couple vectoriel, r, v connaissant les paramètres orbitaux.
Calcul des paramètres orbitaux avec les références de J2000 connaissant le rayon vecteur r et la vitesse V. C'est le symétrique de par_rv_w.exe (ci-dessus)
Calcul des vecteurs fondamentaux ( h, e, n ) dans le repère associé à J2000, connaissant le tir absolu par le couple vectoriel r, V à l'instant t.
Calcul des composantes de r et v dans le repère associé à J2000 connaissant les conditions de tir relatives dans le repère géographique local ENZ. Ce calcul prépare rv_par_w.exe (plus haut), c'est aussi le symétrique du programme qui suit.
Cacul des composantes relatives de la vitesse V dans ENZ connaissant les composantes de r et v dans le repère absolu associé à J2000. C'est le symétrique du programme précédent.